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\begin{document}

\title{\color{BrickRed}\Huge \fbox{Fascicule de TD --- Optique G\'eom\'etrique}}\color{black}
\author{(Ann\'ee universitaire 2021--2022 $\|$ L1 SV/CB/TV - Sem.\,1 $\|$ Outils pour la Biologie)}
\date{}

\maketitle

%\vskip .5cm
%\textit{Les exercices en italique ne seront pas corrig\'es en s\'eance de TD mais sont report\'es ici dans un ordre logique afin de faciliter les r\'evisions. La plupart ont d\'ej\`a \'et\'e trait\'es en cours, les autres feront l'objet d'une correction mise \`a disposition en ligne.}
\vskip 1cm


\begin{multicols}{2}


%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Exp\'erience de R\"{o}mer}
%\color{black}
%En fonction de la position de la Terre (en A ou en B), il existe un d\'ecalage de pratiquement 1000 secondes (996 pour l'exactitude) dans les pr\'edictions de l'heure de l'\'eclipse du satellite Io de Jupiter (en J).
%\noindent Rappel\,: distance Soleil-Terre=1\,UA$\simeq$150\,$10^6$\,km, distance Soleil-Jupiter=5\,UA, UA=unit\'e astronomique.
%\begin{center}
%\includegraphics[width=.75\columnwidth]{Romer.png}
%\end{center}
%}


\color{MidnightBlue}
\section{Ombre port\'ee}
\color{black}

Un disque opaque $AB$ de 1\,cm de diam\`etre est plac\'e \`a 1\,m d'une source lumineuse ponctuelle $S$. On place un \'ecran pour observer l'ombre port\'ee $A'B'$, \`a 3\,m de $S$ et tel que sch\'ematiquement repr\'esent\'e sur la figure suivante.

\begin{center}
\includegraphics[width=.75\columnwidth]{Ombre.png}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les caract\'eristiques de l'ombre port\'ee ?
\item Que vaut l'angle $\alpha$ au sommet du c\^one d'ombre ?
\end{enumerate}


\color{MidnightBlue}
\section{Analyse dimensionnelle}
\color{black}

Comme nous le verrons plus loin, la vergence $V$ d'un dioptre sph\'erique est exprim\'ee comme\,:
$$V=\frac{n_2-n_1}{R}\ ,$$
$n_1$ et $n_2$ \'etant des indices de r\'efraction et $R$ une longueur. En d\'eduire la dimension d'une vergence quelconque.


\color{MidnightBlue}
\section{\'Eclipse de Lune}
\color{black}

Le Soleil de rayon R est situ\'e \`a la distance $D$ de la Terre de rayon $r$. Le syst\`eme Soleil-Terre donne naissance \`a une zone d'ombre et une zone de p\'enombre (voir figure ci-apr\`es, pas \`a l'\'echelle). La zone d'ombre est d\'elimit\'ee par les tangentes ext\'erieures au syst\`eme, celle de p\'enombre par les tangentes int\'erieures. On fait l'approximation que ces tangentes se croisent aux p\^oles (de la Terre et du Soleil). Les deux zones ont une forme conique et apparaissent comme des triangles dans le plan passant par les centres du Soleil et de la Terre.

\begin{center}
\includegraphics[width=\columnwidth]{eclipse.pdf}
\end{center}

{\small ($R$=690\,000\,km, $r$=6370\,km, $D$=150\,$10^6$\,km, $d$=384\,000\,km)}

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer $l$, la distance entre le sommet du c\^one d'ombre et le centre de la Terre, en fonction du rayon du Soleil $R$, du rayon de la Terre $r$ et de la distance de la Terre au Soleil $D$. V\'erifier dimensionnellement le r\'esultat et faire l'application num\'erique.
\item D\'eterminer le rayon $\rho$ du c\^one d'ombre \`a la distance $d$ de la Terre, en fonction de $r$, $d$ et $l$. V\'erifier dimensionnellement le r\'esultat et faire l'application num\'erique.
%\item D\'eterminer le rayon $\rho_1$ du c\^one d'ombre \`a la distance $d$ de la Terre, en fonction de $r$, $d$ et $l$. V\'erifier dimensionnellement le r\'esultat et faire l'application num\'erique.
%\item D\'eterminer la distance $x$ d\'efinie sur la figure en fonction de $r$, $D$ et $R$. V\'erifier dimensionnellement le r\'esultat et faire l'application num\'erique.
%\item D\'eterminer le rayon $\rho_2$ du c\^one de p\'enombre \`a la distance $d$ de la Terre, en fonction de $r$, $d$ et $x$. V\'erifier dimensionnellement le r\'esultat et faire l'application num\'erique.
\item Lorsque la Lune est dans l'axe Soleil-Terre, son centre est \`a la distance $d$ de celui de la Terre. Son rayon \'etant d'environ 1700\,km, que peut-on conclure quant \`a l'\'eclairement de la Lune par le Soleil ?
\end{enumerate}


%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Pouvoir r\'eflecteur}
%\color{black}
%Calculer le pouvoir r\'eflecteur de l'air, de l'eau et du verre. Que peut-on en conclure ?
%}


%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Miroir\,: image d'un point}
%\color{black}
%Construire l'image d'un point (r\'eel) \`a travers un miroir. Quelle est la nature de cette image ?
%}


\color{MidnightBlue}
\section{Di\`edre droit}
\color{black}

Montrer que pour un di\`edre compos\'e de deux miroirs faisant un angle droit entre eux, le rayon r\'efl\'echi repart parall\`element au rayon incident.

\begin{center}
\includegraphics[width=.75\columnwidth]{Diedre.png}
\end{center}


%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Positionnement d'un miroir plan}
%\color{black}
%Une personne mesurant 1.6\,m d\'esire acheter un miroir lui permettant de se voir en entier dans celui-ci. Son {\oe}il est situ\'e \`a 10\,cm du sommet de sa t\^ete.
%\begin{enumerate}
%\item Quelle doit \^etre la taille du miroir et \`a quelle hauteur doit-il \^etre positionn\'e ?
%\item Y a-t-il une distance \`a respecter ?
%\end{enumerate}
%}


%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Grandissements d'un miroir plan}
%\color{black}
%Construire l'image d'un objet transverse \`a travers un miroir. Puis celle d'un objet longitudinal. Quelle est la diff\'erence fondamentale entre les deux grandissements r\'esultants ?
%}


\color{MidnightBlue}
\section{Image d'un camion}
\color{black}

On forme l'image d'un camion \`a travers un r\'etroviseur constitu\'e d'un miroir plan. Parmi les trois choix de la figure suivante, quel  est le bon et pourquoi ?

\begin{center}
\includegraphics[width=\columnwidth]{Camion.png}
\end{center}


\color{MidnightBlue}
\section{Dioptre plan air-eau}
\color{black}

Construire le rayon r\'efract\'e d'un rayon incident d'angle d'incidence $\pi/4$ (45$^\circ$) \`a la travers\'ee d'un dioptre air-eau. Que se passe-t-il ?


%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it R\'efraction dans un diamant}
%\color{black}
%Le diamant a un indice de 2.435 pour le bleu (\`a 486 nm) et un indice de 2.417 pour le jaune (\`a 589 nm). Un faisceau de lumi\`ere blanche tombe sur le diamant avec un angle d'incidence de $\pi/4$ (45$^\circ$). D\'eterminer l'angle que le rayon bleu et le rayon jaune, r\'efract\'es, forment entre eux \`a l'int\'erieur du diamant.
%}

%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Une pi\`ece au fond du verre}
%\color{black}
%Vous \^etes plac\'e pr\`es d'un verre opaque de telle fa\c{c}on que votre {\oe}il, un point $A$ du bord sup\'erieur du verre et un point $B$ \`a l'oppos\'e sur son bord inf\'erieur soient align\'es (a). Vous ne pouvez donc pas voir au centre du verre. Ce verre est un cylindre \`a bords fins de 16\,cm de hauteur et de 8\,cm de diam\`etre. Alors que vous gardez l'{\oe}il dans la m\^eme position, un ami le remplit avec un liquide transparent. Vous voyez alors une pi\`ece centr\'ee au fond du verre (b).
%\begin{center}
%\includegraphics[width=\columnwidth]{Verre.png}
%\end{center}
%\noindent Quel est l'indice de r\'efraction $n$ de ce myst\'erieux liquide ?
%}


%\color{MidnightBlue}
%\section{Une pi\`ece au fond de la piscine}
%\color{black}
%Une personne mesurant 1.82\,m ({\oe}il situ\'e \`a 12\,cm du sommet de sa t\^ete) se tient \`a 85\,cm du bord d'une piscine de 2\,m de profondeur, initialement vide. Une pi\`ece de monnaie est dispos\'ee au fond de la piscine, \`a 80\,cm du bord, du c\^ot\'e de la personne.
%\begin{center}
%\includegraphics[width=.75\columnwidth]{Piscine.png}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Cette personne voit-elle, sans bouger, la pi\`ece au fond de la piscine vide ?
%\item On commence \`a remplir la piscine. \`A partir de quelle hauteur d'eau la personne, toujours sans bouger, commence-t-elle \`a voir la pi\`ece ?
%\item Par contre, \`a quelle profondeur a-t-elle l'{\em impression} de voir cette m\^eme pi\`ece ?
%\end{enumerate}


\color{MidnightBlue}
\section{Angle de r\'efraction limite}
\color{black}

D\'eterminer l'angle de r\'efraction limite dans le verre ($n$=1.5), s'il est plong\'e dans l'air ($n$=1), et s'il est plong\'e dans l'eau ($n$=1.33).


\color{MidnightBlue}
\section{Angle de r\'eflexion totale}
\color{black}

Montrer qu'\`a incidence normale un prisme de verre ($n_2=1.5$), formant \`a deux dimensions un triangle isoc\`ele \`a angle droit et plong\'e dans l'air ($n_1=1$), se comporte, selon le choix de l'orientation, comme\,:
\begin{enumerate}
\item une \'equerre optique.
\item un coin de cube bi-dimensionnel.
\end{enumerate}


\color{MidnightBlue}
\section{Un poisson dans l'eau}
\color{black}

On consid\'ere un dioptre plan constitu\'e par un plan d'eau ($n_1$=4/3, $n_2$=1), et l'on reste dans les conditions de Gauss.
 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer par construction la nature et la position de l'image $A_2$ d'un point objet r\'eel $A_1$ dispos\'e 1\,m sous l'eau. Justifier du choix des angles d'incidence utilis\'es pour la construction.
\item Retrouver par le calcul la position de $A_2$.
\item D\'eterminer par construction, puis retrouver par le calcul, la position et le grandissement correspondant \`a un objet transverse $A_1B_1$. Faire l'application num\'erique pour le cas d'un poisson de 10\,cm en position horizontale.
\item M\^eme question pour un objet longitudinal de m\^eme longueur.
\end{enumerate}


%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Plongeur fluvial}
%\color{black}
%Un plongeur fluvial observe une libellule \`a travers la vitre de son masque de plong\'ee consid\'er\'e comme une lame \`a faces planes parall\`eles, d'indice $n_{\rm verre}$=3/2. Cette vitre est plac\'ee sous l'eau, d'indice $n_{\rm eau}$=4/3. Un rayon incident provenant d'un point de l'objet constitu\'e par la libellule parvient jusqu'\`a l'{\oe}il du plongeur (qui baigne dans l'air confin\'e du masque, avec $n_{\rm air}$=1) selon la figure ci-dessous.
%\begin{center}
%\includegraphics[width=.8\columnwidth]{Plongee2.png}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Le rayon peut-il subir une r\'eflexion totale en $I$ ou en $J$ ? Pourquoi ?
%\item L'angle d'incidence $i$ pouvant aller jusqu'\`a $\pi/2$ (90$^\circ$), quelle est la valeur maximale possible pour l'angle $r$ ?
%\item Montrer que l'on a\,: $r=j+\alpha$. Par cons\'equent, et si $\alpha$=$\pi/6$ (30$^\circ$), quelle est la valeur maximale possible pour l'angle de sortie $i'$ en $M$ ?
%\item On consid\`ere maintenant que la libellule est \`a un angle $i$=$\pi/3$ (60$^\circ$), que vaut l'angle de sortie final $i'$ ? Du coup, le plongeur voit-il la libellule plus haute ou plus basse que ce qu'elle n'est r\'eellement ?
%\end{enumerate}

%\color{MidnightBlue}
%\section{Miroir concave}
%\color{black}
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer par construction puis par le calcul la nature, la position et la dimension de l'image $A'B'$ \`a travers un miroir concave de centre $C$, de sommet $S$ et de foyer $F$, d'un objet r\'eel $AB$ dispos\'e tel que $\overline{SA}$=$-$3\,cm. On donne\,: $\overline{SC}$=$-$2\,cm, $\overline{AB}$=+1\,cm.
%\item En faire de m\^eme pour les cas suivant\,: $\overline{SA}$=$-$1.5\,cm, $\overline{SA}$=$-$0.5\,cm, et $\overline{SA}$=+1\,cm.
%\end{enumerate}

%\color{MidnightBlue}
%\section{Miroir convexe}
%\color{black}
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer par construction puis par le calcul la nature, la position et la dimension de l'image $A'B'$ \`a travers un miroir convexe de centre $C$, de sommet $S$ et de foyer $F$, d'un objet r\'eel $AB$ dispos\'e tel que $\overline{SA}$=$-$1\,cm. On donne\,: $\overline{SC}$=+2\,cm, $\overline{AB}$=+1\,cm.
%\item En faire de m\^eme pour les cas suivant\,: $\overline{SA}$=+0.5\,cm et $\overline{SA}$=+1.5\,cm.
%\end{enumerate}

%\color{MidnightBlue}
%\section{Dioptre sph\'erique\,: constructions}
%\color{black}
%
%\begin{enumerate}
%\item D\'eterminer par construction la nature et la position \`a travers un dioptre sph\'erique concave convergent d'un objet r\'eel $AB$ dispos\'e entre $-\infty$ et $F$.
%\item En faire de m\^eme pour un dioptre concave divergent.
%\item Que se passe-t-il quand le dioptre est convexe ?
%\end{enumerate}

%\color{MidnightBlue}
%\section{Dioptre sph\'erique}
%\color{black}
%Calculer et placer sur un sch\'ema (\`a l'\'echelle 2 pour les trois premiers cas, \`a l'\'echelle 1 pour le dernier) les foyers objet et image d'un dioptre sph\'erique dans les cas suivants\,:
%\begin{enumerate}
%\item $n$=1, $n'$=1.5, $\overline{SC}$=$-$1\,cm,
%\item $n$=1, $n'$=1.5, $\overline{SC}$=+1\,cm,
%\item $n$=1.5, $n'$=1, $\overline{SC}$=$-$1cm,
%\item $n$=1.5, $n'$=1, $\overline{SC}$=+1cm.
%\end{enumerate}
%Puis repr\'esenter graphiquement l'image $A'B'$ d'un objet plac\'e \`a $-$4\,cm de $S$ dans les deux premiers cas, et \`a +4\,cm dans les deux autres. Indiquer la nature de l'image et de l'objet dans chaque cas. V\'erifier num\'eriquement.


\color{MidnightBlue}
\section{Dioptre sph\'erique}
\color{black}

\begin{enumerate}
\item Soit un dioptre sph\'erique de rayon de courbure -2\,cm qui s\'epare l'air ($n_1$=1) du verre ($n_2$=1.5). Ce dioptre est-il convexe ou concave ? Convergent ou divergent ?
\item Soit un objet r\'eel $AB$ de taille +1\,cm plac\'e \`a 2\,cm en amont dudit dioptre.Trouver par construction puis par le calcul position et taille de $A'B'$.
%\item M\^emes cas et questions qu'en (1) et (2) mais en inversant le signe du rayon de courbure.
%\item M\^emes cas et questions qu'en (1) et (2) mais en inversant les valeurs de $n_1$ et $n_2$ entre elles.
\item M\^emes cas et questions qu'en (1) et (2) mais en inversant et le signe du rayon de courbure et les valeurs de $n_1$ et $n_2$ entre elles.
\end{enumerate}


%\color{MidnightBlue}
%\section{Lentilles minces}
%\color{black}
%
%Construire l'image d'un objet (r\'eel ou virtuel) en fonction de sa position par rapport \`a une lentille\,:
%
%\begin{enumerate}
%\item convergente
%\item divergente
%\end{enumerate}
%
%Utiliser trois rayons. Pr\'eciser la nature de l'image dans chaque cas.


\color{MidnightBlue}
\section{Photographe}
\color{black}

Un photographe d\'esire photographier une statue de 2\,m de hauteur situ\'ee \`a une distance de 4\,m. Il veut obtenir sur son film une image d'une hauteur de 1\,cm. On assimile l'objectif de son appareil photo \`a une lentille mince.

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer le grandissement souhait\'e $\gamma$. L'image est-elle droite ou renvers\'ee ?
\item D\'eterminer la distance alg\'ebrique lentille-image $\overline{OA'}$. L'image est-elle r\'eelle ou virtuelle ?
\item Quelle est la vergence $V$ et la distance focale $f'$ de l'objectif ?
\end{enumerate}


%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Diapositive}
%\color{black}
%Une lentille mince, de distance focale image $f'$=+4\,cm, donne d'une diapositive de 24\,mm de hauteur, situ\'ee devant elle, une image sur un \'ecran de projection plac\'e \`a 4\,m.
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la vergence $V$ de la lentille.
%\item Quelle est la position de l'objet ?
%\item D\'eterminer la taille de l'image ainsi que sa nature.
%\end{enumerate}
%}


%\textit{
%\color{MidnightBlue}
%\section{\it Un {\oe}il, deux yeux}
%\color{black}
%L'{\oe}il peut-\^etre mod\'elis\'e au premier abord per une succession de dioptres sph\'eriques. Le premier (la corn\'ee, convexe) entre le milieu ext\'erieur ($n_0\simeq1$ s'il s'agit d'air) et l'humeur aqueuse ($n_1\simeq1.33$), le second (convexe) entre l'humeur aqueuse et le cristallin ($n_2\simeq1.4$), et le dernier (concave) entre le cristallin et l'humeur vitr\'ee ($n_3\simeq1.34$). Les rayons de courbure sont tels que $\overline{S_1C_1}=R_1=8$\,mm et $R_2=-R_3$.
%\begin{center}
%\includegraphics[width=\columnwidth]{Oeil-dioptres-new.png}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item \'Ecrire les relations de conjugaison des trois dioptres successifs et en d\'eduire, en consid\'erant que $S_1$, $S_2$ et $S_3$ sont confondus en un point $O$, que l'on a\,: $$\frac{n_3}{\overline{OA'}}-\frac{n_0}{\overline{OA}}=\frac{n_1-n_0}{R_1}+\frac{2n_2-n_1-n_3}{R_2}$$
%\item Quelles valeurs extr\^emes prennent les rayons de courbure $R_2$ et $R_3$ du cristallin lors de l'accommodation, sachant que le {\em Punctum remotum} $P_r$ est ici \`a l'infini, que le {\em Punctum proximum} $P_p$ est \`a 20\,cm en amont de l'{\oe}il et que $\overline{OA'}$=23\,mm ($A'$ se forme sur la r\'etine) ?
%\item L'{\oe}il peut aussi \^etre mod\'elis\'e par {\em l'{\oe}il r\'eduit} pour lequel on consid\`ere que l'ensemble des dioptres de l'{\oe}il est assimilable \`a un unique dioptre sph\'erique dont le sommet $O$ co\"{\i}ncide avec celui de la corn\'ee. L'indice de r\'efraction de l'{\oe}il r\'eduit est pris \'egal \`a 1.336. D\'eterminer le rayon de courbure correspondant aux valeurs extr\^emes de l'accommodation $P_r$ et $P_p$.
%\end{enumerate}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=\columnwidth]{Oeil-reduit-new.png}
%\end{center}
%}


\color{MidnightBlue}
\section{Trois yeux}
\color{black}

On examine les yeux de trois personnes diff\'erentes. On se place dans l'hypoth\`ese du mod\`ele de l'{\oe}il r\'eduit (indice $n$=1.336, rayon de courbure de l'{\oe}il au repos $R$=$\overline{OC}$=5.6\,mm).
La diff\'erence entre les trois personnes concerne la taille de leurs yeux soit la distance $L$ entre la corn\'ee et la r\'etine.%, et leur facult\'e d'accommodation donn\'ee par un param\`etre $A$ appel\'e {\em amplitude maximale d'accommodation}, avec $A$=$\frac{1}{\overline{OP_r}}-\frac{1}{\overline{OP_p}}$\,:

\begin{itemize}
\item premi\`ere personne\,: $L_1$=22.3\,mm,% et $A$=2.5$\delta$,
\item deuxi\`eme personne\,: $L_2$=24.3\,mm,% et $A$=7$\delta$,
\item troisi\`eme personne\,: $L_3$=20.9\,mm.% et $A$=7$\delta$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculer la vergence V de l'{\oe}il lorsque celui-ci est au repos, vergence commune aux trois personnes.
\item Calculer la position de l'image $A'$ d'un objet situ\'e \`a l'infini. En d\'eduire le type \'eventuel d'am\'etropie (d\'efaut de l'{\oe}il) pr\'esent\'ee par chaque personne.
%\item Calculer la position du {\em Punctum remotum} $P_r$. En d\'eduire la position du {\em Punctum proximum} $P_p$. Sachant qu'\`a l'\^age des personnes examin\'ees, un {\oe}il emm\'etrope (sans d\'efaut) poss\`ede un {\em Punctum proximum} tel que $\overline{OP_p}=-20$\,cm, que peut-on rajouter concernant les d\'efauts \'eventuels de vision pour chaque personne ?
%\item La premi\`ere personne voudrait corriger son d\'efaut avec une paire de lunettes et les deux autres avec des lentilles de contact. Donner la vergence $V'$, la focale $f'$ et la nature des diff\'erents verres correcteurs. On prendra une distance de 12\,mm entre les yeux et la paire de lunettes.
\end{enumerate}


\color{MidnightBlue}
\section{Pouvoir s\'eparateur de l'{\oe}il}
\color{black}

\begin{enumerate}
\item Sachant qu'un {\oe}il sans d\'efaut ne peut pas distinguer de d\'etails plus fins que 0.1\,mm lorsque ces derniers sont plac\'es \`a son {\em Punctum proximum} (25\,cm), calculer le pouvoir s\'eparateur de l'{\oe}il\footnote{On appelle pouvoir s\'eparateur l'angle limite $\epsilon$ sous lequel deux points lumineux peuvent \^etre vus s\'epar\'ement. Pour ce faire, leurs images doivent se former sur deux cellules visuelles diff\'erentes. Lorsqu'elles ne sont plus distinctes, c'est qu'elles se forment tous les deux sur la m\^eme cellule visuelle.}. 
\item Un fabricant de d'\'ecrans plats veut conna\^itre la distance entre les lignes de pixels de l'appareil afin qu'un t\'el\'espectateur, situ\'e \`a une distance minimale de 2\,m de l'\'ecran, ne puisse pas voir la structure de ces lignes.
%\item \textit{De m\^eme, un constructeur automobile veut savoir de combien doivent \^etre s\'epar\'es les phares d'une voiture afin qu'un conducteur les distingue \`a une distance de 3\,km.}
\end{enumerate}


%\color{MidnightBlue}
%\section{D\'efauts de l'{\oe}il}
%\color{black}
%Sur la figure ci-dessous ont \'et\'e repr\'esent\'es les limites de vision distincte de plusieurs types d'{\oe}il.
%\begin{center}
%\includegraphics[width=.95\columnwidth]{Defauts-oeil.png}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Attribuer \`a chacun des sch\'emas l'une des r\'eponses suivantes\,:
%     \begin{enumerate}
%        \item {\oe}il normal (ou emm\'etrope),
%        \item {\oe}il presbyte,
%        \item {\oe}il myope,
%        \item {\oe}il hyperm\'etrope, 
%        \item {\oe}il myope presbyte.
%     \end{enumerate}
%\item Attribuer \`a chaque cas la lentille correctrice\,:
%     \begin{enumerate}
%        \item aucune lentille n'est n\'ecessaire,
%        \item il faut des lentilles convergentes,
%        \item il faut des lentilles divergentes,
%        \item il faut des lentilles cylindriques,
%        \item il faut des doubles foyers.
%     \end{enumerate}
%\end{enumerate}


\color{MidnightBlue}
\section{Loupe/oculaire}
\color{black}

Un observateur observe un objet $AB$ de hauteur $h$=0.5\,cm suffisamment petite pour faire toutes les approximations de l'optique paraxiale. Il utilise une loupe (\'equivalente \`a un oculaire) constitu\'ee d'une lentille convergente de centre optique $O$ et de distance focale 2\,cm. L'{\oe}il est accol\'e \`a la lentille et observe $AB$ \`a travers la loupe de fa\c{c}on \`a ne pas accommoder.

\begin{enumerate}
\item Exprimer la puissance $P$ de la loupe en fonction de la focale $f$, puis de la vergence $V$, de cette lentille. Donner sa valeur.
\item Calculer le grossissement commercial $G_c$ de cette loupe.
\item Sachant que le pouvoir s\'eparateur $\epsilon$ de l'{\oe}il vaut $4\ 10^{-4}$\,rad, donner la taille minimale $AB_{\rm min}$ de l'objet que l'{\oe}il peut voir \`a travers la loupe. Comparer avec la taille minimale 0.1\,mm perceptible \`a l'{\oe}il nu.
\end{enumerate}


\color{MidnightBlue}
\section{Microscope}
\color{black}

Un microscope est sch\'ematis\'e par deux lentilles minces convergentes de m\^eme axe optique\,: l'objectif $L_1$ de distance focale 1\,cm et l'oculaire $L_2$ de distance focale 5\,cm. Les centres optiques $O_1$ et $O_2$ de $L_1$ et $L_2$ sont s\'epar\'es par la distance $e$=$O_1O_2$=10\,cm. Le syst\`eme est plac\'e dans l'air. Un observateur place son {\oe}il accol\'e \`a l'oculaire pour observer un objet $AB$. Il effectue la mise au point du microscope pour que son {\oe}il soit au repos (sans accommodation). On appelle $A_1B_1$ l'image de $AB$ form\'ee par l'objectif, et $A'B'$ l'image de $AB$ par le microscope.

\begin{enumerate}
\item Donner les positions de $A'B'$ et de $A_1B_1$.
\item En prenant une taille de 0.8\,cm pour l'objet $AB$, effectuer le trac\'e des rayons traversant le microscope.
\item L'angle sous lequel l'observateur voit l'objet $AB$ \`a travers l'instrument est not\'e $\alpha'$. Calculer la puissance $P_{\rm oc}$ de l'oculaire et la puissance $P_M$ du microscope.
\item On appelle $\alpha$ l'angle sous lequel l'objet est vu \`a l'{\oe}il nu \`a une distance $d$. Donner l'expression litt\'erale du grossissement commercial $G_M$ en fonction du grandissement $|\gamma_1|$ de l'objectif $L_1$, de la distance focale image de l'oculaire et de $d$=25\,cm. Calculer $G_M$. Comment cette valeur de $G_M$ doit-elle \^etre interpr\'et\'ee sachant qu'\`a l'{\oe}il nu on ne peut pas distinguer d'objet plus petit que 0.1\,mm ?
\end{enumerate}

\end{multicols}

\line(1,0){525}
\begin{multicols}{2}


\color{MidnightBlue}
\section*{(Exo.\,supp.\,\#1) Lames \`a faces parall\`eles}
\color{black}

Un rayon lumineux arrive avec l'incidence $i$ sur une plaque de verre \`a faces parall\`eles, d'indice $n$ et d'\'epaisseur $e$, plac\'ee dans l'air ($n_{\rm air}=1$).

\begin{enumerate}
\item Calculer la translation $d$ subie au niveau de la face de sortie par ce rayon traversant la plaque, et ce en fonction de $e$, $i$ et $n$.
\item On suppose que la lumi\`ere du faisceau est constitu\'ee par la superposition de radiations rouges et bleues. On donne $i=\pi/6$ (30$^\circ$) et $e=2.4$\,cm, les indices de r\'efraction du verre pour les deux radiations sont $n_R=$1.58 et $n_B=$1.62. Quelle est la diff\'erence de translation $\Delta d=d_R-d_B$ entre les rayons rouge et bleu ?
\end{enumerate}


\color{MidnightBlue}
\section*{(Exo.\,supp.\,\#2) Lentille biconcave}
\color{black}

Une lentille biconcave en verre (avec $n$=1.5) est constitu\'ee de deux dioptres tels que le rayon de courbure du premier dioptre soit le double du rayon de courbure du second dioptre (mais de signe oppos\'e)\,: $\overline{S_1C_1}=-2\,\overline{S_2C_2}$. La distance focale image de l'ensemble form\'e par l'association des deux dioptres, $f'$, est quant \`a elle telle que\,: $f'=-6$\,cm. 

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire la relation de conjugaison de cette lentille biconcave, en supposant les sommets $S_1$ et $S_2$ de chaque dioptre confondus en un point $O$ (lentille mince).
\item En d\'eduire les rayons de courbure de chaque dioptre.
\item M\^eme question qu'en (2), mais avec une lentille biconvexe.
\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics[width=.0505\columnwidth]{biconcave.png}
\hskip 3cm \includegraphics[width=.08\columnwidth]{biconvexe.png}
\end{center}


\color{MidnightBlue}
\section*{(Exo.\,supp.\,\#3) Un {\oe}il, deux yeux}
\color{black}

L'{\oe}il peut-\^etre mod\'elis\'e au premier abord per une succession de dioptres sph\'eriques. Le premier (la corn\'ee, convexe) entre le milieu ext\'erieur ($n_0\simeq1$ s'il s'agit d'air) et l'humeur aqueuse ($n_1\simeq1.33$), le second (convexe) entre l'humeur aqueuse et le cristallin ($n_2\simeq1.4$), et le dernier (concave) entre le cristallin et l'humeur vitr\'ee ($n_3\simeq1.34$). Les rayons de courbure sont tels que $\overline{S_1C_1}=R_1=8$\,mm et $R_2=-R_3$.

\begin{center}
\includegraphics[width=\columnwidth]{Oeil-dioptres-new.png}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \'Ecrire les relations de conjugaison des trois dioptres successifs et en d\'eduire, en consid\'erant que $S_1$, $S_2$ et $S_3$ sont confondus en un point $O$, que l'on a\,: $$\frac{n_3}{\overline{OA'}}-\frac{n_0}{\overline{OA}}=\frac{n_1-n_0}{R_1}+\frac{2n_2-n_1-n_3}{R_2}$$
\item Quelles valeurs extr\^emes prennent les rayons de courbure $R_2$ et $R_3$ du cristallin lors de l'accommodation, sachant que le {\em Punctum remotum} $P_r$ est ici \`a l'infini, que le {\em Punctum proximum} $P_p$ est \`a 20\,cm en amont de l'{\oe}il et que $\overline{OA'}$=23\,mm ($A'$ se forme sur la r\'etine) ?
\item L'{\oe}il peut aussi \^etre mod\'elis\'e par {\em l'{\oe}il r\'eduit} pour lequel on consid\`ere que l'ensemble des dioptres de l'{\oe}il est assimilable \`a un unique dioptre sph\'erique dont le sommet $O$ co\"{\i}ncide avec celui de la corn\'ee. L'indice de r\'efraction de l'{\oe}il r\'eduit est pris \'egal \`a 1.336. D\'eterminer le rayon de courbure correspondant aux valeurs extr\^emes de l'accommodation $P_r$ et $P_p$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics[width=\columnwidth]{Oeil-reduit-new.png}
\end{center}


\color{MidnightBlue}
\section*{(Exo.\,supp.\,\#4) Hyperm\'etropie}
\color{black}

\noindent On rappelle qu'un {\oe}il hyperm\'etrope est un {\oe}il qui n'est pas assez convergent. On mod\'elise cet {\oe}il au repos par une lentille mince centr\'ee $L_1$ de distance focale $f'_1$=25\,mm, et une r\'etine (plane) situ\'e \`a la distance $d$=22\,mm de $L_1$. On se place dans les conditions de Gauss.

\begin{enumerate}
\item R\'ealiser un sch\'ema \`a l'\'echelle 2/1 (1\,cm r\'eel = 2\,cm sur le sch\'ema) comportant l'axe optique, la lentille et ses foyers objet et image ($F_1$ et $F'_1$), le plan de la r\'etine. Y repr\'esenter le trajet de deux rayons provenant d'un point objet situ\'e \`a l'infini.
\item O\`u se forme l'image de cet objet par rapport \`a la r\'etine ? L'{\oe}il voit-il une image nette de cet objet ?
\item On place devant l'{\oe}il une lentille $L_2$ convergente de distance focale $f'_2$, accol\'ee \`a la lentille $L_1$. L'ensemble \{$L_1+L_2$\} est \'equivalent \`a une lentille mince unique de distance focale $f'$. Exprimer la vergence $V$ de cette lentille \'equivalente en fonction de $f'_1$ et $f'_2$.
\item Exprimer $f'_2$ en fonction de $f'_1$ et $d$ pour que l'image se forme maintenant sur la r\'etine. V\'erifier dimensionnellement le r\'esultat puis faire l'application num\'erique.
\end{enumerate}


\color{MidnightBlue}
\section*{(Exo.\,supp.\,\#5) Lave-vaisselle}
\color{black}

\noindent Dans un lave-vaisselle, le t\'emoin de liquide de rin\c{c}age consiste en un bouchon de verre d'indice $n_1$=1,5 qui trempe dans le liquide d'indice $n_2$ situ\'e dans le r\'eservoir. Le bouchon est constitu\'e d'un corps cylindrique termin\'e par un c\^one de r\'evolution repr\'esent\'e par un triangle rectangle isoc\`ele dans le plan de coupe ci-dessous.

\begin{center}
\includegraphics[width=.75\columnwidth]{Lave-vaisselle.pdf}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere un rayon lumineux arrivant en incidence normale sur le bouchon. Quelle est la valeur de son angle d'incidence $i$ avec la normale au dioptre bouchon-liquide au point $I$ ? Placer cet angle et la normale en question sur le sch\'ema.
\item \underline{On suppose le r\'eservoir rempli d'un liquide d'indice $n_2$=1.3.} Calculer l'angle de r\'eflexion totale $\Lambda$ (l'angle d'incidence limite \`a partir duquel il n'y a plus de rayon r\'efract\'e).
\item Que peut-on en d\'eduire quant au rayon incident en $I$ (justifier) ?
\item \underline{On vide maintenant le r\'eservoir du liquide pr\'ec\'edent.} Le r\'eservoir est donc maintenant rempli d'air ($n_2$=1). Calculer le nouvel angle de r\'efraction limite $\Lambda'$.
\item Que peut-on en d\'eduire quant au rayon incident en $I$ (justifier) ? Compl\'eter le sch\'ema pr\'ec\'edent en construisant le trajet du rayon apr\`es l'incidence en $I$ (tracer tout le cheminement du rayon \'eventuellement r\'efl\'echi ou r\'efract\'e par la suite).
\item Expliquer bri\`evement le fonctionnement de ce syst\`eme (on place un d\'etecteur de lumi\`ere sur le fond du r\'eservoir).
\end{enumerate}



\end{multicols}

\end{document}