3.3.1 Ondelettes continues - définition

Pour obtenir de l'information à la fois temporelle et fréquentielle sur un signal , il faut le décomposer sur des fonctions concentrées à la fois en temps et en fréquence. Pour définir ces fonctions, il faut partir d'une fonction appelée ``ondelette mère'' si elle est bien localisée et si elle est oscillante (elle ressemble à une onde, mais étant localisée, est une ondelette). La condition de localisation s'écrit sous la forme habituelle de décroissance en amplitude rapide quand augmente indéfiniment. La condition d'oscillation suggère que vibre comme une onde : on demande donc que l'intégrale de sur le temps soit nulle et qu'il en soit de même pour ses premiers moments. La mère des ondelettes engendre les autres ondelettes de la famille, , et réel, par dilatation (paramètre ) et par translation dans le temps (paramètre ).

Le facteur de normalisation peut être aussi pris égal à 1 ou à .

Grossman et Morlet ont montré que si est à valeurs réelles, cette collection peut être utilisée comme s'il s'agissait d'une base orthonormée. Cela signifie que tout signal d'énergie finie peut s'écrire comme une combinaison linéaire d'ondelettes et que les coefficients de cette combinaison sont, à un facteur de normalisation près, les produits scalaires :

Ces coefficients mesurent, en un certains sens, les fluctuations du signal autour du point à l'échelle fournie par .

La transformée en ondelette est un opérateur linéaire, invariant par translation et par dilatation. Quelle que soit l'échelle et quel que soit l'endroit, l'analyse du signal se fait avec la même fonction.

Si la base engendrée par l'ondelette n'est pas orthogonale, on a une redondance d'informations et un risque d'instabilité lors de la reconstruction du signal analysé. Par ailleurs, la transformée en ondelette d'un signal n'est pas unique, elle dépend de l'ondelette mère utilisée.

Le traitement numérique des données nécessite la discrétisation de l'analyse en ondelettes. Il faut se donner un réseau de points de discrétisation. Le principal problème réside dans la reconstruction du signal. Il y a plusieurs manières de traiter ce problème. Mallat, par exemple, introduit l'analyse multirésolution. D'une façon générale, les bases d'interpolation dans (espace des fonctions continuement dérivables) permettent de bien décrire l'analyse en ondelettes discrète. L'algorithme de transformation en ondelettes discrètes le plus simple consiste alors à convoluer le signal avec l'ondelette, en dilatant ou en contractant la forme de celle-ci, suivant l'échelle à laquelle on veut faire l'analyse.