3.3.1 Définition 3.3.3 Algorithme de Mallat 3.3 L'analyse en ondelettes


3.3.2 Discrétisation de la transformée continue

On veut trouver une base orthonormale d'ondelettes dans laquelle il sera possible de décomposer le signal appartenant à ( est l'espace des réels). Pour cela, il faut utiliser l'analyse multirésolution dans . Une telle analyse consiste à utiliser une gamme très étendue d'échelles pour analyser le signal. A chaque échelle, le signal sera remplacé par l'approximation la plus adéquate que l'on puisse y tracer. En allant des échelles les plus grossières vers les échelles les plus fines, on accède à des représentations de plus en plus précises du signal donné. L'analyse s'effectue donc en calculant ce qui diffère d'une échelle à l'autre, c'est-à-dire les détails.

Une approximation de l'espace des fonctions de carrés sommables consiste à le découper en une séquence de sous-espaces . Ces sous-espaces ont un certain nombre de propriétés : ils forment une suite embo^tée, leur intersection est réduite à et leur réunion est dense dans . Chaque sous-espace est l'ensemble de toutes les approximations possibles d'un même signal à la résolution associée au sous-espace. Le signal à analyser sera approximé par une succession de projections orthogonales sur les sous-espaces .

Il faut à présent trouver une base engendrant . Soit la fonction appartenant à telle que () soit une base orthonormée dans . Soit le sous-espace vectoriel engendré par cette suite. est défini à partir de par simple changement d'échelle :

pour toute fonction de . De plus, l'ensemble des fonctions est une base de . La fonction est appelée fonction d'échelle ou fonction d'interpolation. L'échelle associée à la résolution est . Le choix d'un facteur 2 correspond à une analyse diadique. Si on pose : , alors la famille engendrée par translation (paramètre ) et par dilation (paramètre ) de est une base orthonormale.

Le passage d'une résolution à une résolution se fait en projetant la fonction appartenant à une base sur un espace dont les fonctions définies ci-dessus forment une base. La projection s'écrit sous la forme :

Or peut s'écrire sous la forme :

D'où, après un changement de variable adéquat :

Si , on a :

Pour son algorithme, Mallat considère une suite croissante de grille emboitées qui va de la grille la plus fine à la grille la plus grossière. Le signal à analyser est échantillonné sur la grille fine. Etant donné un signal original discret (avec ) son approximation (avec ) est obtenue par convolution de et du filtre de réponse impulsionnelle précédemment décrit en gardant un échantillon sur deux à la sortie du filtre. Cette procédure est itérée un certain nombre de fois.

Il est possible d'associer à , précédemment décrit, un filtre discret dont il est la réponse impulsionnelle. Si la transformation de Fourier discrète de ce filtre est notée , alors doit vérifier les relations suivantes :

La transformée de Fourier de la fonction échelle associée au filtre est alors donnée par :

Le signal original est donc filtré par une suite de filtres passe-bas en cascade dont la fréquence de coupure décro^t de moitié lorsque l'on passe de la résolution à la résolution (figure 1.7).


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Wed Oct 30 19:17:13 MET 1996