3.3.2 Discrétisation de la transformée continue

On veut trouver une base orthonormale d'ondelettes dans laquelle il sera possible de décomposer le signal appartenant à ( est l'espace des réels). Pour cela, il faut utiliser l'analyse multirésolution dans . Une telle analyse consiste à utiliser une gamme très étendue d'échelles pour analyser le signal. A chaque échelle, le signal sera remplacé par l'approximation la plus adéquate que l'on puisse y tracer. En allant des échelles les plus grossières vers les échelles les plus fines, on accède à des représentations de plus en plus précises du signal donné. L'analyse s'effectue donc en calculant ce qui diffère d'une échelle à l'autre, c'est-à-dire les détails.

Une approximation de l'espace des fonctions de carrés sommables consiste à le découper en une séquence de sous-espaces . Ces sous-espaces ont un certain nombre de propriétés : ils forment une suite embo^tée, leur intersection est réduite à et leur réunion est dense dans . Chaque sous-espace est l'ensemble de toutes les approximations possibles d'un même signal à la résolution associée au sous-espace. Le signal à analyser sera approximé par une succession de projections orthogonales sur les sous-espaces .

Il faut à présent trouver une base engendrant . Soit la fonction appartenant à telle que () soit une base orthonormée dans . Soit le sous-espace vectoriel engendré par cette suite. est défini à partir de par simple changement d'échelle :

pour toute fonction de . De plus, l'ensemble des fonctions est une base de . La fonction est appelée fonction d'échelle ou fonction d'interpolation. L'échelle associée à la résolution est . Le choix d'un facteur 2 correspond à une analyse diadique. Si on pose : , alors la famille engendrée par translation (paramètre ) et par dilation (paramètre ) de est une base orthonormale.

Le passage d'une résolution à une résolution se fait en projetant la fonction appartenant à une base sur un espace dont les fonctions définies ci-dessus forment une base. La projection s'écrit sous la forme :

Or peut s'écrire sous la forme :

D'où, après un changement de variable adéquat :

Si , on a :

Pour son algorithme, Mallat considère une suite croissante de grille emboitées qui va de la grille la plus fine à la grille la plus grossière. Le signal à analyser est échantillonné sur la grille fine. Etant donné un signal original discret (avec ) son approximation (avec ) est obtenue par convolution de et du filtre de réponse impulsionnelle précédemment décrit en gardant un échantillon sur deux à la sortie du filtre. Cette procédure est itérée un certain nombre de fois.

Il est possible d'associer à , précédemment décrit, un filtre discret dont il est la réponse impulsionnelle. Si la transformation de Fourier discrète de ce filtre est notée , alors doit vérifier les relations suivantes :

La transformée de Fourier de la fonction échelle associée au filtre est alors donnée par :

Le signal original est donc filtré par une suite de filtres passe-bas en cascade dont la fréquence de coupure décro^t de moitié lorsque l'on passe de la résolution à la résolution (figure 1.7).