3.2 Analyse de Fourier

L'observation de l'évolution d'un signal peut nous renseigner sur son commencement, sa fin, la durée de ses éléments caractéristiques, ses discontinuités, ses changements de rythme, etc. En revanche, une représentation temporelle renseigne peu sur les périodicités présentes dans le signal.

Une technique fondamentale pour la représentation en fréquence consiste à décomposer le signal en une superposition de différentes fonctions. Cette méthode fut généralisée en 1807 par Joseph Fournier et s'applique à l'étude de nombreux problèmes physiques. Les séries de Fourier sont utilisées pour l'étude de signaux périodiques (par exemple, les signaux carrés, triangulaires, etc.). Ceux-ci peuvent en effet être représentés comme une superposition d'une onde sinusodale fondamentale (dont la fréquence est appelée la fréquence fondamentale) et de divers harmoniques (de fréquences multiples de la fréquence fondamentale) :

Les amplitudes ou coefficients de Fourier sont données par :

Pour les phénomènes non-périodiques, il est nécessaire d'avoir recours à une intégrale de Fourier (c'est-à-dire à une somme continue). Cette méthode consiste à représenter le signal par une superposition d'ondes sinusodales de toutes les fréquences possibles. Les amplitudes associées à ces fréquences représentent, comme pour les séries de Fourier, les importances respectives des diverses ondes sinusodales. Ces amplitudes forment alors une fonction de la fréquence appelée ``spectre continu des fréquences du signal'' : c'est la transformée de Fourier du signal. Elle est calculée à l'aide de l'intégrale de Fourier :

où est le nombre de points du signal. La transformée inverse permet de reconstruire le signal à partir des sinusodes qui le constituent :

Pour que la transformée de Fourier existe, le signal doit être de carré sommable c'est-à-dire d'énergie finie. Pour les signaux réels, cette condition est toujours remplie puisque la mesure est faite sur un temps fini.

L'analyse par Fourier suppose implicitement que le signal est identique à lui-même en dehors de l'intervalle de mesure. La fonction étant périodique de période 1, il est d'usage de limiter son intervalle de définition à [-1/2,1/2]. Dans le cas où elle est issue d'un échantillonnage, la valeur 1 de la période doit être remplacée par où désigne la fréquence d'échantillonnage.

• 3.2.1 Effets de l'échantillonnage
• 3.2.2 Quelques exemples
• 3.3.3 Densité spectrale de puissance
• 3.3.4 Inconvénients de l'analyse de Fourier