Dynamique des textures convectives: géométrie de l'équation de phase

Chercheur: T. Passot Collaborations: N. Ercolani, R. Indik, et A.C. Newell (Tucson) Objectifs: Description des défauts topologiques des textures convectives à l'aide de l'équation de phase.

La modélisation macroscopique de structures localement périodiques de type rouleaux de convection présente encore des défis importants pour les mathématiciens. Dans le cas où l'on peut définir une seule phase $\theta$, qui est un mode lent, la description de la texture à grande échelle se simplifie car il est possible d'éliminer la structure tridimensionnelle complexe du rouleau de base. Dans la limite où le rapport $\epsilon$ entre la longueur d'onde typique et la taille du récipient est très petit, nous avons établi des preuves rigoureuses de l'existence et de la forme des solutions de l'équation de phase stationnaire (à nombre de Prandtl infini). La solution du problème stationnaire revient à minimiser une énergie $E$ qui est la somme d'une énergie associée à la courbure du rouleau et d'une énergie résultant de la différence entre le nombre d'onde local et le nombre d'onde sélectionné. Un problème différent mais très étroitement relié est défini par l'égalité entre les deux énergies introduites plus haut. Cette réduction ``self-duale'' (qui donne lieu à une équation aux dérivées partielles du second ordre et non plus du quatrième ordre) conduit à des solutions qui sont également solutions du problèmes original quand la courbure de Gauss du graphe de la phase est nulle. Pour un grand nombre de textures observées la courbure s'annulle presque partout, sauf en un certain nombre de courbes et de points. De manière générale cependant, les solutions obtenues dans le cas self-dual donnent des bornes supérieures à l'énergie. Le point remarquable est que dans un cas simplifié (valable quand le nombre d'onde ne s'écarte pas trop du nombre d'onde sélectionné), l'équation self-duale peut être linéarisée et conduit à des solutions explicites que l'on contrôle parfaitement dans la limite $\epsilon \rightarrow 0$. Dans des cas particuliers il est également possible de trouver une borne inférieure à l'énergie qui est égale à la borne supérieure. On obtient donc un minimiseur explicite de l'énergie, qui n'est pas nécessairement unique (Ercolani et al. 2000). Une limitation de ce travail est que la physique est invariante dans un changement de signe de la phase alors que l'énergie utilisée pour l'obtention les solutions associe un fort coût à cette rotation de $180^o$ du vecteur d'onde. Les minima de l'énergie trouvés précédemment ne sont donc pas nécessairement les minima du problème qui tient compte de l'ambiguité de signe. De telles solutions peuvent être réalisées sur une surface de Riemann à deux feuillets, la coupure se trouvant sur le lieu où se trouve le changement de signe.

La théorie de l'équation de phase valable pour les champs de vecteur, donne comme solution asymptotique les solutions de l'équation eikonale $\vert\nabla \theta\vert=1$. La surface de phase consiste en des morceaux où le nombre d'onde est constant, séparés par des défauts lignes appelés joints de grains qui contiennent presque toute l'énergie et qui se recontrent en des défauts points de topologie non-triviale, les désinclinaisons.

Nous avons testé la théorie sur l'équation de Swift-Hohenberg à l'aide de solutions numériques obtenues dans le cas d'un récipient à frontière elliptique. Des expériences de laboratoire ont également été faites dans cette géométrie avec une frontière chauffée, permettant aux rouleaux de rester parallèles aux bords. La théorie prédit des rouleaux parallèles aux frontières du récipient qui se rencontrent au centre sur un joint de grain. Les solutions observées dans les simulations ou dans l'expérience ``préfèrent'' transformer le joint de grain à angle important en rouleaux droits connectés par des dislocations, solution qui a une énergie plus petite. La transition entre ces deux solutions possibles a été étudiée théoriquement sur un joint de grain isolé et apparaît pour un angle d'environ $45^o$, ce qui a été vérifié dans les simulations numériques (Ercolani et al. 2002).

Perspectives

Nous allons maintenant tenter de résoudre le problème dans sa globalité, c'est à dire en tenant compte de l'ambiguité de signe du vecteur d'onde. Pour cela, il faut résoudre à la fois le problème de minimisation et le problème géométrique (nombre et position des singularités). Quelques pistes sont actuellement en cours d'exploration.